题目内容
如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、
△BDE、△CEF的三条中线的交点．
（1）求△DEF与△ABC的面积比；
（2）求△PDF与△ADF的面积比；
（3）求多边形PDQERF与△ABC的面积比．
解：（1）如图，过点D作DG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H，则DG∥AH，所以△BDG∽△BAH，又
，BE=
BC，所以DG=
AH，S△BDE=
S△ABC，同理S△ADF=S△CEF=
S△ABC所以S△DEF=S△ABC-S△ADF-S△CEF=
S△ABC．（2）分别延长DP，FP交AF，AD于M，N，因为点P是△ADF的三条中线的交点，
所以M，N分别是AF，AD的中点，且DP=
DM，过点P，M分别作DF的垂线，垂足分别为K，S，则△DKP∽△DSM，相似比为2：3，所以KP=
SM，S△PDF=
S△MDF，又S△MDF=
S△ADF，得S△PDF=
S△ADF．（3）由（2）知，
S△QDE=
S△BDE，S△REF=S△CEF，所以S△PDF=S△QDE=S△REF=
S△ABC．所以SPDQERF=S△DEF+S△PDF+S△QDE+S△REF=
S△ABC．分析：（1）分别过A，D两点作BC的垂线，得到△BDE和△ABC的面积关系，用同样的方法可以得到△ADF，△CEF与△ABC的面积的关系，然后求出△DEF与△ABC面积的比．（2）点P是△ADF的重心，延长DP，FP，根据三角形重心的性质计算可以求出△PDF和△ADF的面积的比．（3）根据（1）（2）两题的结论，得到△DQE和△EFR与△BDE和△CEF的面积关系，求出多边形与三角形的面积的比．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）过D，A两点作BC的垂线，得到两相似三角形，利用相似三角形的性质，求出两三角形的面积的比．（2）根据重心的性质可以求出两三角形的面积的比．（3）利用（1）（2）的结论可以求出多边形与三角形面积的比．
练习册系列答案
相关题目
如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且cosA=
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A、
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B、
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C、
| ||||
D、
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如图，在锐角△ABC中，a＞b＞c，以某任意两个顶点为顶点作矩形，第三个顶点落在以这两个顶点所确定的对边上，这样可以作三个面积相等的矩形，请问这三个矩形的周长大小关系如何？（记ta、tb、tc分别以a、b、c为边的矩形的周长）答：
25、如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF．
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