Question

如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，BC边上的高AH为h．作△ABC的中位线B₁C₁，连接PB₁、PC₁；作△AB₁C₁的中位线B₂C₂，连接PB₂、PC₂；…；这样一直作下去，得到一组三角形：△PB₁C₁、△PB₂C₂、…、△PB_nC_n（n为正整数），则△PB_nC_n的面积为

2n-1

22n+1

ah

（用含n、a、h的式子表示）．

Answer 1

分析：根据三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质求得△ABC与△AB₁C₁对应边上的高线的比，然后根据规律表示出B_nC_n与h_n，再根据三角形的面积公式求出S_△PBnCn的面积．

解答：解：∵B₁C₁是△ABC的中位线，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁=

1

2

BC；
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∴

B1C1

BC

=

h-h1

h

，
∴

h1

h

=

1

2

，
∴h₁=

1

2

h；
同理，B₂C₂=

1

2

B₁C₁=

1

4

BC=

1

4

a，
h₂=h-

1

2

h-

1

2

×

1

2

h=

3

4

h；
∴B_nC_n=(

1

2

)na，h_n=

2n-1

2n

h
∴S_△PBnCn=

1

2

B_nC_n•h_n=

2n-1

22n+1

ah．
故答案是：

2n-1

22n+1

ah．

点评：本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．