Question

.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设,,.

   特例探索

（1）如图1，当∠=45°，时，=             ，              ；

     如图2，当∠=30°，时，   =             ，              ；

  归纳证明

   （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；

    拓展应用

   （3）如图4，在□ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG, AD= ,AB=3.

求AF的长. 

       

  

Answer 1

 解析：（1）如图1，连接EF,则EF是△ABC的中位线，

          ∴EF==,

          ∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，

          ∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，

          ∴AP=BP=2 ，EP=FP=1, ∴AE=BF=,

          ∴.

          如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线.

          ∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,

          ∴AP=2, BP=,

          ∵EF, ∴PE=,PF=1,

          ∴AE=, BF=

          ∴ , .

       (2)    

           如图3，连接EF， 设AP=m ,BP=n.,则

           ∵EF,  ∴PE=BP=n , PF=AP=m,

           ∴ ,  ,

           ∴,

            

           ∴

       （3）

如上图，延长EG,BC交于点Q, 延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,连接EF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC, ABCD,

∵E,G是分别是AD,CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=, DG=AM=1.5，∴BM=4.5.

∵，∴，∴BP=9,  ∴M是BP的中点；

∵ADFQ, ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ,

∵E,F分别是AD，BC的中点，∴AEBF, ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF,

由AF∥PQ得：

  , ∴, ∴PN=QN, ∴N是PQ的中点；

∴△BQP是“中垂三角形”， ∴,

∴,  ∴