Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（2，1），点D的横坐标为

1

2

．
（1）求点D的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使△POA的面积比△POB的面积大4？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
（4）将题中的抛物线y=ax²+bx沿x轴平移，当抛物线经过点B时，请直接写出平移的方向和距离．

Answer 1

分析：（1）首先将点C的坐标代入y=kx+2后求得直线的解析式，然后即可求得点D的坐标；
（2）将点C和点D的坐标代入的二次函数的解析式的一般形式后即可利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（3）假设存在，设出点P的坐标后分别表示出两个三角形的面积后列出方程求解即可；
（4）根据点B的纵坐标为2，所以令y=-2x²+

9

2

x=2即可确定平移的距离；

解答：解：（1）将点C坐标代入y=kx+2得：
1=2k+2
解得k=-

1

2

则y=-

1

2

x+2
当x=

1

2

时，y=

7

4

故D（

1

2

，

7

4

）；

（2）将点C、D坐标代入y=ax²+bx得：

1=4a+2b 7 4 = 1 4 a+ 1 2 b

，
解得：

a=-2 b= 9 2

故y=-2x²+

9

2

x；

（3）∵y=-

1

2

x+2当y=0时x=4，当x=0时y=2
∴A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2
设P（m，-2m²+

9m

2

）
则S△POA=

1

2

×4×（-2m²+

9m

2

）=-4m²+9m
S△POB=

1

2

×2×m=m
当-4m²+9m=m+4时，解得m=1
∴-2m²+

9m

2

=

5

2

∴存在点P（1，

5

2

）；

（4）将y=-2x²+

9

2

x向左平移

9± 17

8

个单位后，经过点B．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是存在性问题，更是近几年中考的高频考点，需要加强训练．