Question

13．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求$\frac{HG}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=$\sqrt{5}$，由易证△ABH∽△CGH，所以$\frac{BH}{HG}=2$，从而可求出HG的长度，进而求出$\frac{HG}{GF}$的值．

解答 解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}\\{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE，

（2）设CG=1，
∵G为CD的中点，
∴GD=CG=1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE=1，
∴由勾股定理可知：DE=BG=$\sqrt{5}$，
∵sin∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{GF}{GD}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴$\frac{AB}{CG}=\frac{BH}{GH}$=$\frac{2}{1}$，
∴BH=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{3}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{HG}{GF}$=$\frac{5}{3}$

点评 本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．