Question

探究与发现：

(1)探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系

已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．

图1 图2 图3

(2)探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系

已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．

(3)探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系

已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：__ __ __．

 

Answer 1

【解析】

试题分析：探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；

探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；

探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

试题解析：探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠ACD，

=180°-（∠ADC+∠ACD），

=180°-（180°-∠A），

=90°+∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠BCD，

=180°-（∠ADC+∠BCD），

=180°-（360°-∠A-∠B），

=（∠A+∠B）；

探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，

∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，

∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠ACD，

=180°-（∠ADC+∠ACD），

=180°-（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），

=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

考点: 1.多边形内角与外角；2.三角形内角和定理．