Question

如图，抛物线y=-

1

4

x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且抛物线的对称轴为直线x=1，设∠ABC=α，且cosα=

4

5

．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）动点P从点A出发，沿A→B→C方向，向点C运动；动点Q从点B出发，沿射线BC方向运动．若P、Q两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，当点P到达点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
①试求△APQ的面积S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
②在运动过程中，是否存在这样的t的值，使得△APQ是以AP为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称轴可求得b的值；然后用c表示出C点坐标，根据∠α的余弦值可求得∠α正弦值，进而可用c表示出点B的坐标，由于抛物线的图象经过点B，将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得c的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）①此题应分两种情况讨论：
1°当P在线段AB上，即0＜t≤14时，可用t表示出AP、BQ的长，根据∠α的正弦值，可用BQ表示出AP边上的高，进而可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；
2°当P在线段BC上，即14≤t≤24时，由于P、Q的速度相同，所以PQ的长不变，而A到直线BC的距离也是定植，所以此时的S值不变．
②同①也分两种情况考虑：1、点P在线段AB上，2、点P在线段BC上；可分别用t表示出AP、PQ、AQ的长，然后根据AP=PQ或AP=AQ两种不同等量关系列出关于t的方程，进而求得t的值．

解答：解：（1）-

b

2a

=1，-

b

- 1 4

=1，b=

1

4

，
∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+c；
∵C（0，c），
∴OC=c，
∵cosα=

4

5

，
∴tanα=

3

4

；
∴OB=

4

3

c，
∴B（

4

3

c，0），
代入解析式中，得：0=-

1

8

×

16

9

c²+

1

4

×

4

3

x+c，c=6；
∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+6；
令y=0，x²-2x-48=0，x=8或x=-6；
∴A（-6，0），B（8，0），C（0，6）．

（2）①1°如图1，0＜t≤14；
则S=

1

2

t×

3

5

t，即S=

3

10

t²；
2°如图2，14≤t≤24；
∵PQ=AB=6+8=14，AH=

3

5

AB=

42

5

，
∴S=

1

2

×14×

42

5

=

294

5

；
故S=

3 10 t2(0＜t≤14) 294 5 (14≤t≤24)

．

②1°如图3，0＜t≤14；
a、AP=AQ，则AP²=AQ²，
∴t²=（

3

5

t）²+（14-

4

5

t）²，
解得t=

35

4

；
b、AP=PQ，则AP²=PQ²，
∴t²=（

3

5

t）²+[

4

5

t-（14-t）]²，
解得t=14或t=

70

13

（不合题意，舍去）；
∴t=14．
2°如图4，14≤t≤24，
a、AP=AQ，则AP²=AQ²，
[

3

5

（t-14）]²-[14-（t-14）•

4

5

t]²=（

3

5

t）²+（14-

4

5

t）²，
解得t=

91

5

；
b、AP=PQ，则AP²=PQ²，
[

3

5

（t-14）]²+[14-（t-14）•

4

5

]²=14²，
解得t=

182

5

（不合题意，舍去）或t=14，
∴t=14；
综上可知：t=

35

4

或t=

91

5

或t=14时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法以及等腰三角形的构成条件等重要知识；在涉及动点问题时，一定要注意分类讨论思想的运用，以免漏解．