Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【解析】（1）∵四边形ABCO为矩形，∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中， AB=4，BC=3，由勾股定理，得AC=5．∴AO=3．∵点D与点A关于y轴对称，∴AO=DO．∴DO=3，

∴D（3，0）；

（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，∴AC=CD=5．∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF，∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO，∴∠AFE=∠DEC．

∵在△AEF与△DCE中，，∴△AEF∽△DCE（AA）．

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴AE=CD=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，

∴E（2，0）；

②当EF=FC时，∵∠FCE=∠FEC=∠ACB=∠CAE ,∴AE=CE   

设E（a ,0），∴OE²+OC²=CE²=AE²=（OA+OE）²  即： 

解得a=此时，点E的坐标为（，0）

③当CE=CF时，E与D重合与题目矛盾．

综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（2，0）或（，0）