Question

如图，平面直角坐标系中，已知点A（2，3），线段垂直于轴，垂足为，将线段绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点处，直线与轴的交于点。

（1）试求出点D的坐标；
（2）试求经过、、三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点，使得以点、、为顶点的三角形与△ACD相似。

Answer 1

解：
（1）点C的坐标为（，）
设直线的表达式为。
易得解得
所以直线的表达式为。
当时，，。
所以点D的坐标为（，）
（2）设经过、、三点的抛物线的表达式为（）
易得
解得
因此，所求的抛物线的表达式为。
其顶点坐标为（，）
（3）点F在的对称轴（即直线）上，所以设点F的坐标为（1，）。
由题意可得，，
∴,。
所以若以、、为顶点的三角形与△ACD相似，必有一个角的度数为，
由此可得点F必定在点E的上方，
，
所以当或时，
以、、为顶点的三角形与△ACD相似
由点D（，）、C（，）、A（2，3）、（，）易得
，，。
∴或。
解得或。
故符合题意的点F有两个，其坐标为（1，5）或（1，6）