Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∠A=∠D=90°，然后利用∠DEC=90°得到∠AED=∠ECB，这样就可以证明△ADE∽△BEC；
（2）过点E作梯形两底的平行线交腰CD于F，则F是CD的中点，然后利用梯形的中位线就可以证明①和②；
（3）主要利用（1）中的相似三角形带来的比例线段和勾股定理解题．

解答：（1）证明：∵梯形ABCD是直角梯形
∴∠A=∠B=90°
又∵∠DEC=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴△ADE∽△BEC

（2）证明：过点E作EF∥AD，交CD于F，则EF既是梯形ABCD的中位线，又是Rt△DEC斜边上的中线．
∵AD+BC=2EF，CD=2EF
∴AD+BC=CD
∵FD=FE=

1

2

CD
∴∠FDE=∠FED
∵EF∥AD
∴∠ADE=∠FED
∴∠FDE=∠ADE，即DE平分∠ADC
同理可证：CE平分∠BCD

（3）解：设AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x²+m²=（a-x）²，化简整理得：a²-m²=2ax①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m
因为△ADE∽△BEC，所以

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，
即：

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

(a-m)m

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

所以△BEC的周长=BE+BC+EC=(a-m)+

(a-m)m

x

+

(a-m)(a-x)

x

=(a-m)(1+

m

x

+

a-x

x

)=(a-m)•

a+m

x

=

a2-m2

x

②
把①式代入②，得△BEC的周长=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a
所以△BEC的周长与m无关．

点评：此题主要考查了梯形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质等知识点的综合运用．