题目内容

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．有两个动点E、F分别在线段CD与BC上运动，点E以每秒1cm的速度从点C向点D匀速运动．点F以每秒2cm的速度从点B向点C匀速运动；当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）点E、F在运动过程中，如果由点C、E、F构成的三角形与△BDC相似，求线段BF的长．
分析：（1）在直角三角形BCD中，由CD与BC的长，利用勾股定理求出BD的长，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由cos∠CBD的值求出cos∠ADB的值，利用锐角三角函数定义即可求出AD的长；
（2）由BD与CD的长，求出三角形BCD的面积，如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H，表示出三角形CEF的面积，由三角形BCD的面积减去三角形CEF的面积，即可列出y关于t的函数关系式，并求出此时t的范围；
（3）分两种情况考虑：①如图3，当∠CEF=∠BDC=90°时，△EFC∽△DBC；②如图4，当∠CFE=∠CDB=90°时，△EFC∽△BDC，分别由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
根据勾股定理得：BD=
BC2-CD2
=8cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=
BD
BC
=
8
10
=
4
5
，
∴AD=BD•cos∠ADB=
32
5
cm；                 
（2）∵BD=8cm，CD=6cm，
∴S△BCD=
1
2
BD•CD=24（cm2），
如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H，
在Rt△CEH中，CE=t，sinC=
BD
BC
=
8
10
=
4
5
，
∴EH=CE•sinC=
4
5
t，
∴S△CEF=
1
2
CF•EH=
1
2
（10-2t）×
4
5
t=-
4
5
t2+4t（cm2），
∴y=S△BCD-S△CEF=24-（-
4
5
t2+4t）=
4
5
t2-4t+24（cm2），t的取值范围是0＜t＜5；

（3）①如图3，当∠CEF=∠BDC=90°时，△EFC∽△DBC，
∴
CE
CF
=
CD
CB
=
6
10
=
3
5
，即
t
10-2t
=
3
5
，
解得：t=
30
11
，此时BF=2t=
60
11
cm；                               
②如图4，当∠CFE=∠CDB=90°时，△EFC∽△BDC，
∴
CF
CE
=
CD
CB
=
6
10
=
3
5
，即
10-2t
t
=
3
5
，
解得：t=
50
13
，此时BF=2t=
100
13
cm．
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及三角形的面积求法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
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A、3B、4C、5D、6
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A、16B、48C、24D、64

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