Question

观察下列等式：

1+ 1 12 + 1 22

=1+1-

1

2

，

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

3

，

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

4

，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．

Answer 1

分析：（1）观察各式，即可得到规律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

；
（2）利用分式的加减运算法则求解，可得1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=[1+

1

n

-

1

(n+1)

]2，继而可证得结论．

解答：解：（1）猜想：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

；

（2）证明：∵1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=1+[

1

n

-

1

(n+1)

]2+2×

1

n(n+1)

=1+[

1

n

-

1

(n+1)

]2+2[

1

n

-

1

(n+1)

]=[1+

1

n

-

1

(n+1)

]2
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题考查了二次根式的性质与化简．此题难度适中，属于规律性题目，注意能根据题意得到规律：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

是解此题的关键．