Question

如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点．
（1）求证：△ADQ∽△QCP．
（2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？

Answer 1

分析：（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D=∠C=90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；
（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根据相似三角形的对应边成比例即可求得AQ与PQ的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得AQ与PQ的位置关系．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠D=90°；
又∵Q是CD中点，
∴CQ=DQ=

1

2

AD；
∵BP=3PC，
∴CP=

1

4

AD，
∴

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：
由（1）知，△ADQ∽△QCP，

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
则

AQ

QP

=

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
AQ=2PQ；
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，
∴AQ⊥QP．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等．