Question

在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE=x，AD=y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE==12，
即y+x=12，
∴y关于x的函数关系式为：y=12﹣x（2≤x≤6）．
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵6²+8²=10²，
即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=，
即
∴DF=
∴S=AE·DF=x=﹣x²+x=﹣（x﹣6）²+，
故当x=6时，S取得最大值，
此时，y=12﹣6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．