Question

已知抛物线y=与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边）．
（1）过A、O、B三点作⊙M，求⊙M的半径；
（2）点P为弧OAB上的动点，当点P运动到何位置时△OPB的面积最大？求出此时点P的坐标及△OPB的最大面积．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边），
∴y=0时，0=，
整理得出：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
当x=0，则y=，
由题意可得：A（0，），B（3，0），C（1，0），
∴OA=，OB=3，
连接AB，∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴AB=2，
∴⊙M的半径为；

（2）在△AOB中，∵OA=，OB=3，∠AOB=90°，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°，
∵点P为弧OAB上的动点，
∴∠OPB=60°，
∵OB=3是定值，要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，
即点P到OB边的距离最大，
∴点P为为弧OAB的中点，此时为△OPB为等边三角形，
且边长为3，
过点P作PT⊥OB于点T，
根据题意得出：OT=，PT=，
∴P（，），△OPB的最大面积为：×3×=．
分析：（1）根据二次函数图象与坐标轴交点求法得出A，B，C坐标，进而得出AB的长，即可得出⊙M的半径；
（2）首先得出利用点P为弧OAB上的动点，则∠OPB=60°，再利用OB=3是定值，要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，进而利用等边三角形的性质求出点P的坐标及△OPB的最大面积．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，根据已知得出要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，即点P到OB边的距离最大，进而得出P点位置是解题关键．