Question

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴的下方．
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x₀＜x₂；
（3）当点M为（1，-1999）时，求整数x₁，x₂．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=x²+px+q中a=1＞0，可知抛物线开口上，由于点M（x₀，y₀）位于x轴，故此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）把M（x₀，y₀）代入抛物线的解析式可得到y₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，再由不等式的性质求解即可；
（3）由根与系数的关系可知x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，再把M点代入方程，p和q用x₁和x₂代换整理即可求出x₁、x₂的值．

解答：解：（1）函数y=x²+px+q可化为y=（x+

p

2

）²+q-

p2

4

，
将M（x₀，y₀）代入得，y₀=（x₀+

p

2

）²+q-

p2

4

＜0，
∵y₀＜0，
∴q-

p2

4

＜0，即p²＞4q，
∵△=p²-4q，
∴△＞0，
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点；

（2）设y=（x-x₁）（x-x₂），将x₀代入，则y₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴（x₀-x₁）＞0且（x₀-x₂）＜0，或（x₀-x₁）＜0且（x₀-x₂）＞0，
∵x₁＜x₂，只能是前一种情况，
∴x₁＜x₀＜x₂；

（3）∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴M点代入方程，p和q用x₁和x₂代换整理得，
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=-1999，即（x₁-1）（x₂-1）=-1999，
又∵x₁和x₂是整数及x₁＜x₂，
∴x₁=-1998，x₂=2，或x₁=0，x₂=2000．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与坐标轴的交点问题转化为与二元一次方程有关的问题是解答此题的关键．