Question

如图，在平面直角坐标系中，
已知点P₀坐标为（1，0），将线段OP₀绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；将线段OP₁绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，…，这样依次得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n．
则点P₂的坐标为

 

；
当n=4m+1（m为自然数）时，点P_n的坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据点P₀坐标求出OP₀，然后分别求出OP₁，OP₂，OP₃，OP₄，…，OP_n，再根据点P₂在y轴负半轴写出坐标即可；分m是奇数和偶数两种情况确定出点P_n所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可．

解答：解：∵P₀的坐标为（1，0），
∴OP₀=1，
∴OP₁=2，OP₂=2×2=2²，
OP₃=2²×2=2³，
OP₄=2³×2=2⁴，
…，
OP_n=2^n-1×2=2ⁿ，
∵每次旋转45°，点P₀在x轴正半轴，
∴点P₂在y轴负半轴，
∴点P₂的坐标为（0，-4）；

∵OP_n为所在象限的平分线上，
∴2ⁿ×

2

2

=

2

•2^n-1，
①m为奇数时，点P_n在第二象限，
点P_n（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1），
②m为偶数时，点P_n在第四象限，
点P_n（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1），
综上所述，点P_n的坐标为（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1）或（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1）．
故答案为：（0，-4）；（-

2

•2^n-1，

2

•2^n-1）或（

2

•2^n-1，-

2

•2^n-1）．

点评：此题主要考查了点的坐标变化规律，读懂题目信息，理解并求出OP_n的长度是解题的关键，难点在于要根据n的表示分情况讨论．