题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=- $数学公式$ x-1与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C为AB延长线上一点且BC=AB，抛物线y=ax²+bx-3过点A、点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，将△ABO绕点M旋转，使得点A的对应点落在抛物线上，试求出A的对应点的坐标；（直接写出结果）
（4）△ABO绕平面内的某一点旋转180°后，是否存在A、B的对应点同时落在抛物线上？若存在，求出对应点A′、B′和旋转中心的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线AB：y=- $\text{[math]}$ x-1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2；
∴A（-2，0），B（0，-1），
又∵AB=BC，即B是AC的中点，
∴C（2，-2）．

（2）∵y=ax²+bx-3过A（-2，0）、C（2，-2）
∴ $\text{[math]}$
解得：a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ．
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3．，
顶点坐标（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）

（3）由（2）知，抛物线的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，则M（ $\text{[math]}$ ，0）；
设点A的对应点的坐标为（x， $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3），根据旋转的性质，有
（x- $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3）²=（-2- $\text{[math]}$ ）²，
即（x- $\text{[math]}$ ）²+[ $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ]²= $\text{[math]}$ ，
设（x- $\text{[math]}$ ）²=m，则有：
m+（ $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
解得m= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ；
将m的值代入（x- $\text{[math]}$ ）²=m中，可求得：
A₁（-2，0）（舍去）、A₂（-1，-2）、A₃（2，-2）、A₄（3，0）．

（4）旋转后，A′B′∥AB，
设O′（a，b），△AOB≌△A′O′B′，则A′（a+2，b），B′（a，b+1），代入
y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3中，
解得：a=-1，b=-3．
则A′（1，-3），B′（-1，-2）旋转中心（- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据直线AB的解析式，可确定A、B的坐标，由于BC=AB，即B是AC的中点，即可求得点C的坐标．
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（3）若点A的对应点落在抛物线上，那么这些点到M的距离都等于MA的长，可设出点A对应点的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式列方程求解．（此方程是个高次方程，可用换元法求解）
（4）假设存在符合条件的旋转中心，由于旋转的度数为180°，那么旋转后A′B′∥AB，可设出旋转中线的坐标，然后表示出A′、B′的坐标，由于A′、B′都在抛物线的图象上，可将它们代入抛物线的解析式中，即可求得A′、B′以及旋转中心的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形的旋转变化，熟练掌握图形旋转的性质是解决此题的关键．