题目内容
【题目】如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中， 
为常数，试确定k的值．
【答案】（1）y=x2﹣2x；（2）P（1+
，2）或（1﹣
，2）或P（1+
，4）或（1﹣
，4）；（3）k=
．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．
（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣
x+b，则m2﹣2m=﹣
m+b，b=m2﹣2m+
，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据
列出等式，即可解决问题．
试题解析：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有
，解得： 
，∴二次函数y=x2﹣2x；
（2）由（1）得：B（1，﹣1）．∵A（﹣1，3），∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2
，设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）．∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有
，解得： 
或
，∴P（1+
，2）和（1﹣
，2）；
②当AB为边时，根据中点坐标公式得
，解得
或
，
∴P（1+
，4）或（1﹣
，4）．
故答案为：P（1+
，2）或（1﹣
，2）或P（1+
，4）或（1﹣
，4）．
（3）设T（m，m2﹣2m）．∵TM⊥OC，∴可以设直线TM为y=﹣
x+b，则m2﹣2m=﹣
m+b，b=m2﹣2m+
，由
，解得
，∴OM=
=
，ON=m
，∴
=
，∴k=
时， 
=
，∴当k=
时，点T运动的过程中， 
为常数．
