Question

已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADC=30°，AC=6，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．欲证明DE是⊙O的切线，只需证明DE⊥OC即可；
（2）在直角三角形ADE中可以求出∠EAD=60°，根据已知条件“AC平分∠EAB”推知∠BAC=30°；又由直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB=90°；最后在直角三角形ABC中利用三角函数值来求BC的长度．

解答：（1）证明：连接OC，则∠CAO=∠ACO．
∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO．
∴∠EAC=∠ACO．∴AE∥OC．（1分）
∴∠DCO=∠E=90°，即DE⊥OC．
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ADC=30°，
∴∠EAD=60°．
∴∠BAC=

1

2

∠EAD=30°（3分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（4分）．
∴BC=AC•tan∠BAC
=6×tan30°
=2

3

（5分）

点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．