Question

已知二次函数y=x²+2ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标x₁，x₂满足：1≤x₁＜x₂≤2．
证明：（Ⅰ）b＜a²；（Ⅱ）0＜a+b＜2．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根与系数的关系

专题：证明题

分析：（Ⅰ）利用根的判别式列式整理即可得解；
（Ⅱ）利用根与系数的关系列式表示出a、b的取值范围，再根据a、b都是正数即可证明．

解答：证明：（Ⅰ）∵与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac=（2a）²-4×1×b＞0，
整理得，b＜a²；

（Ⅱ）根据根与系数的关系，x₁+x₂=-

b

2a

=-

2a

2

=-a，
x₁•x₂=

c

a

=

b

1

=b，
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴2＜-a＜4，1＜b＜4，
∴-4＜a＜-2，
∴-3＜a+b＜2，
又∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴a、b都是正数，
∴0＜a+b＜2．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式与根与系数的关系，需要注意根据两个根都是正数的条件可知a、b都是正数的利用．