题目内容
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
| 2 |
分析：（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直线OP解析式为y=-x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为-2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．
（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直线OP解析式为y=-x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为-2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．
解答：
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得
，
解得
，
∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
∴x1=2，x2=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
，
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，-4），
∴OP=4
设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
解得：x1=
，x2=2，
当x2=2时，OD=BP=2
，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=
时四边形OPBD为等腰梯形，
∴当D（
，
）时，四边形OPBD为等腰梯形；
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒
个单位长度，运动时间为t秒，则MP=
t，
∴PH=t，MH=t，HN=
（4-t），
∴MN=MH+HN=2+
t，
∴S=（2+
t）•t•
=
t2+t；
②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴
=(
)2，
∴
=(
)2，
∴S△P1EF=3t2-12t+12，
∴S=
t2-（3t2-12t+12）=-
t2+12t-12，
∴当0＜t≤2时，S=
t2，
当2＜t＜4时，S=-
t2+12t-12．
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得
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解得
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∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
∴x1=2，x2=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
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解得
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∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，-4），
∴OP=4
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设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
解得：x1=
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当x2=2时，OD=BP=2
| 5 |
∴当x=
| 2 |
| 5 |
∴当D（
| 2 |
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| 4 |
| 5 |
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒| 2 |
| 2 |
∴PH=t，MH=t，HN=
| 1 |
| 2 |
∴MN=MH+HN=2+
| 1 |
| 2 |
∴S=（2+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴
| S△P1EF |
| S△P1MN |
| P1G |
| P1H |
∴
| S△P1EF | ||
|
| 2t-4 |
| t |
∴S△P1EF=3t2-12t+12，
∴S=
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴当0＜t≤2时，S=
| 3 |
| 4 |
当2＜t＜4时，S=-
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．
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