Question

如图，已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+c经过A（2，0）、B（0，-6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，连接AB、AD，求△ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴以及C点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式，即可得出答案；
（2）将两函数解析式联立求出交点坐标，进而得出D点坐标，即可得出D点到x轴距离，进而得出△ABD的面积．

解答：解：（1）将A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c中可得：

- 1 2 ×22+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

则该抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+4x-6．（2分）
抛物线对称轴为x=-

4

2×(- 1 2 )

=4．（3分）
∴C（4，0）（4分）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）将B（0，-6），C（4，0）代入求得：

b=-6 4k+b=0

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直线BC的解析式为y=

3

2

x-6．（6分）

（2）将两函数解析式联立得：

y= 3 2 x-6 y=- 1 2 x2+4x-6

，
解得

x=5 y= 3 2

，
∴D（5，

3

2

） （8分）
S△ABD=S△ACD+S△ACB=

1

2

×2×

3

2

+

1

2

×2×6=

15

2

．（10分）

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式以及三角形面积求法，根据已知得出两函数的交点坐标是解题关键．