Question

【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.
求证：AE是△ABC的一条特异线.
（2）如图2，已知BD是△ABC的一条特异线，其中∠A= ，∠ABC为钝角，求出所有可能的∠ABC的度数.
（3）如图3，△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角
度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DE是线段AC的垂直平分线,

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形,

∴AE是△ABC的一条特异线 ,

（2）

解：若∠A=∠ADB=30°，∠ABD=120°

等腰△BCD中，∠C=∠CBD=15°

∴∠ABC=135°

若∠ABD=∠ADB=75°

等腰△BCD中，∠C=∠CBD=37.5°

∴∠ABC=112.5°

若∠A=∠DBA=30°

则等腰△BCD中，∠CDB=∠C=∠CBD=60°

∴∠ABC=90°(舍去)

∴∠ABC=135°，或112.5°

（3）

解：如图1中，设顶角∠A=x，则x+2x+2x=180°，

解得：x=36°，即顶角∠A=36°;

此时△BCD∽△ABC， , ， 解得特异线BD= -1;

如图2中，7x=180°， x= °，即顶角∠A=°

【解析】（1）只要证明△ABE, △AEC是等腰三角形即可；（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情况讨论；如图3中，当AD是特异线时，AB=BD,AD=DC,根据等腰三角形性质即可；当CD为特异线时，不合题意。（3）如图3中，当BD是特异线时，分两种情况讨论即可；当AD是特异线时，不合题意。
【考点精析】通过灵活运用三角形的内角和外角，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题．