Question

观察下列等式：
1×2=×（1×2×3-0×1×2）
2×3=×（2×3×4-1×2×3）
3×4=×（3×4×5-2×3×4）
…
计算：3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）]=________．

Answer 1

n（n+1）（n+2）
分析：观察不难发现，两个数的积等于这两个数乘以后面的数减去这两个数乘以前面的数，然后乘以，把括号内的积都写成两个积的差的的形式，然后相加互相抵消即可得解．
解答：∵1×2=×（1×2×3-0×1×2）
2×3=×（2×3×4-1×2×3），
3×4=×（3×4×5-2×3×4），
…，
∴n（n+1）=[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴3×[1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）]
=3×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=n（n+1）（n+2）．
故答案为：n（n+1）（n+2）．
点评：本题是对数字变化规律的考查，读懂题意，把两个数的积转互为两个积的差的是解题的关键．