题目内容
如图所示，已知正方形ABCD中，P是BD上任意一点，PE⊥BC，垂足为E点，PF⊥CD垂足为F，求证：AP⊥EF．
答案：略
解析：
提示：
解析：
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证明：如图所示，连接 PC，设PC与EF交于O，延长AP交EF于H．因为 PE⊥BC于E点，PF⊥DC于F点，所以∠ PEC=∠PFC=90°因为正方形四个角都为直角，∠ ECF=90°，所以四边形 FCEP是矩形，所以 OE=OF=OC=OP，∠FPE=90°，所以∠ 2=∠3．因为 BD是正方形ABCD的对角线，所以 A、C关于BD成轴对称点，所以△ ABP与△CBP关于BD成轴对称，所以∠ 3=∠1，所以∠2=∠1．因为 PE⊥BC，∠ABC=90°，所以 PE∥AB(同位角相等，两直线平行)，所以∠ 4=∠1，所以∠4=∠2，所以∠ 4＋∠FPH=∠2＋∠FPH=90°，所以∠ PHF=90°，所以AP⊥EF． |
提示：
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要证 AP⊥EF，需证AP与EF所成的角为90°，所以应延长AP交EF于H，如图，证∠PHF=90°． |
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