如图.在直角坐标系xOy中.一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+m的图象与x轴交于A.与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c经过A.C两点.与x轴正半轴交于点B．(1)求一次函数及抛物线的函数表达式．(2)在对称轴上是否存在一点P.使得△PBC的周长最小?若存在.请求出点P的坐标．(3)点D是线段OC上的一个动点.过点D作DE|PC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B．
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标．
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交点式即可求出二次函数解析式；
（2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．求出直线AC解析式，将x=-1代入即可求出P点纵坐标，从而求出P点坐标；
（3）将S_△PDE转化为S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA，再转化为关于x的二次函数，然后求二次函数的最大值．

解答解：（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+m经过点A（-3，0），
∴0=2+m，解得m=-2，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
C（0，-2）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=-1，且与x轴交于A（-3，0），
∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵抛物线经过 C（0，-2），
∴-2=a•3（-1），解得a=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2．
（2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如图1，
连接AC交x=-1于P点，因为点A、B关于x=-1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．
∵A（-3，0）（，0），C（0，-2），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∵x_P=-1，
∴y_P=-$\frac{4}{3}$，即P（-1，-$\frac{4}{3}$）
（3）如图2：
∵设CD的长为m，△PDE的面积为S，
∴D（0，m-2），
∵DE∥PC，直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∴设直线DE解析式y=-$\frac{2}{3}$x+m-2，
当y=0时，x=$\frac{3}{2}$m-3，
∴E（$\frac{3}{2}$m-3，0），
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$m）×（2-m）-$\frac{1}{2}$×m×1
=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$，
∴当m=1时有最大值$\frac{3}{4}$．