Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-3x+m-3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．

Answer 1

分析 设方程的两个根分别为α、β，由根与系数的关系可得出α+β=3、αβ=m-3，结合$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1可得出$\frac{3}{m-3}$=1，解之即可得出m的值，再根据根的判别式即可得出△=21-4m≥0，解之即可得出m的取值范围，由此即可确定m无解．

解答 解：设方程的两个根分别为α、β，
∴α+β=3，αβ=m-3．
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$=$\frac{3}{m-3}$=1，
∴m=6，
经检验，m=6是分式方程$\frac{3}{m-3}$=1的解．
∵方程x²-3x+m-3=0有两个实数根，
∴△=（-3）²-4（m-3）=21-4m≥0，
∴m≤$\frac{21}{4}$，
∴m=6舍去．
∴m无实数根．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1找出$\frac{3}{m-3}$=1是解题的关键．