Question

（2012•峨眉山市二模）如图，抛物线y=-x²+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等分，设分点分别为P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₁，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，Q₃，…，Q₂₀₁₁，把Rt△OP₁Q₁，Rt△P₁P₂Q₂，Rt△P₂P₃Q₃…，Rt△P₂₀₁₀P₂₀₁₁Q₂₀₁₁的面积分别记为S₁，S₂，S₃…，S₂₀₁₁，则S12+S22+…+S20112=

1011533

2

（或505766.5）

．

Answer 1

分析：S₁、S₂、…、S₂₀₁₁中，所有三角形在y轴上的直角边都是1，因此只需考虑它们的另一条直角边即可；也可以看作，这些三角形面积的平方和等于所有Q点横坐标的平方和，可先表示出点Q的横坐标的平方，结合等差数列即可求出代数式的值．

解答：解：设点Q（

2012-y

，y）；（0＜y＜2012）
那么 Q_n（

2012-n

，n）．（1≤n≤2011）
S₁²=

1

4

（2012-1）=

1

4

×2011
S₂²=

1

4

（2012-2）=

1

4

×2010
S₃²=

1

4

（2012-3）=

1

4

×2009
…
S₂₀₁₁²=

1

4

（2012-2011）=

1

4

×1
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S₂₀₁₁²=

1

4

（2011+2010+2009+…+1）=

1

4

×

2011×(2011+1)

2

=

1011533

2

故填：

1011533

2

．

点评：此题的难度适中，把握住每个直角三角形一条直角边都是1是解答题目的关键，此外，还需牢记等差数列的求和公式S_n=

n(a1+an)

2

．