Question

（1）欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰…①，将①式两边同乘以3，得

3S=3+3²+…+3²¹

…②，由②式减去①式，得S=

1

2

（3²¹-1）

．
（2）仿照（1）的方法，当k≠1时，试求a+ak+ak²+ak³+…akⁿ的值（用含a，n，k的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）将已知的等式左右两边乘以3即可得到结果，两式相减即可求出S；
（2）将所求等式设为M，左右两边乘以k后，两式相减即可用a，n及k表示出结果．

解答：解：（1）3S=3+3²+…+3²¹…②，
②-①得：2S=3²¹-1，即S=

1

2

（3²¹-1）；

（2）设M=a+ak+ak²+ak³+…akⁿ，①
两边都乘以k得：kM=ak+ak²+ak³+…akⁿ⁺¹，②
②-①得：（k-1）M=akⁿ⁺¹-a，即M=

a(kn+1-1)

k-1

，
则a+ak+ak²+ak³+…akⁿ=

a(kn+1-1)

k-1

．
故答案为：（1）3S=3+3²+…+3²¹；

1

2

（3²¹-1）

点评：此题考查了整式的混合运算，解本题的关键是熟练运用错位相减法．