Question

探索研究
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

 

；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=

 

，a_n=

 

；
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰①
将①式两边同乘以3，得

 

②
由②减去①式，得S=

 

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=

 

（用含a₁，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=

 

（用含a₁，q，n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根据题中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分两种情况讨论．

解答：解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
∴a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；

（2）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹
3S-S=3²¹-1
S=

1

2

(321-1)；

（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②
②-①得：S_n=

a1(qn-1)

q-1

．
故答案为：2、2¹⁸、2ⁿ；3+3²+3³+3⁴+…+3²¹、

1

2

(321-1)；a₁q^n-1、

a1(qn-1)

q-1

．

点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的规律为：这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2．要注意：第（3）题要注意分两种情况讨论．