Question

在一次课外实践活动中，同学们要测湘江河的宽度．如图1所示，小明先在河西选定建筑物A，并在河东岸的B处观察，此时视线BA在河岸BE所成的夹角∠ABE=32°，小明沿河岸BE走了400米到C处，再观察A，此时视线CA与河岸所成的夹角∠ACE=64°．
（1）请你根据以上数据，帮助小明计算出湘江河的宽度（结果精确到0.1米）．
（2）求出湘江河宽后，小明突发奇想，欲求B的正对岸建筑物的高度MN（如图2所示），现测得小明的眼睛与地面的距离（FB）是1.6m，看建筑物顶部M的仰角（∠MFG）是8°，BN为湘江河宽，求建筑物的高度MN（结果精确到0.1米）．
（提示：河的两岸互相平行；参考数值：sin32°≈0.530；cos32°≈0.848；
tan32°≈0.625；sin64°≈0.900；cos64°≈0.438；tan64°≈2.050；
sin8°≈0.139；cos8°≈0.990；tan8°≈0.141）

Answer 1

分析：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，可以用AD根据三角函数表示线段BD的长度，然后同样的方法在R
t△ACD中用AD表示线段CD的长度，而BC=400，由此即可得到关于AD的方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）知道线段BN的长度，同时利用已知条件可以知道FC的长度，然后在Rt△MFG中利用三角函数和已知条件可以求出CM的长度，然后加上线段FB的长度即可求出建筑物的高度MN；

解答：解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，
∴AD就是湘江河的宽度，
在Rt△ABD中，∠ABE=32°，
∴BD=

AD

tan32°

在Rt△ACD中，∠ACD=64°，
CD=

AD

tan64°

，
而BD-CD=BC，
∴

AD

tan32°

-

AD

tan64°

=400，
∴AD≈359.6米；

（2）由（1）得BN=AD=359.6米，
依题意得FG=NB，FB=NG，
在Rt△MFG中，GM=FG•tan∠MFG=FG•tan8°=50.70米，
∴MN=MG+NG=50.70+1.6≈52.3米．
∴建筑物的高度MN为52.3米．

点评：此题主要考查了视角及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解视角的定义，然后利用三角函数和已知条件即可解决问题．