Question

（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x₀，0），其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：
过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）

Answer 1

解：（1）由题意直线AC与x轴的交点，
所以当y=0，则x=﹣6，
所以点A（﹣6，0）．
同理点C（0，8），
设点A关于y轴对称点为B（x′，0），
由题意则x′=2x₀+6．
则直线BC为y=﹣，
代入x=x₀，则y=，
所以该点为（），
即（）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10，
=10，
解得x₀=2或x₀=﹣8（不符舍去），
则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y=．
点N（2，16）；
（3）如图，作MN⊥BC与N，

则在三角形OBC∽三角形CMN，
所以，
即h=．
因为MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S==，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4，

所以当t为2时S最大；
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，
从而得到点M的坐标，
，即
则解得t=2，
则由题意知CEF三点所在圆半径为4，
所以直线CN与CFE所在圆相切．

解析