题目内容
15．探究发现
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系∠FDC+∠ECD=180°+∠A．
探究二：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F=∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F=∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
分析 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根据∠F的表示，∠F为0时不存在．
解答 解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠F+∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D+∠ABC-180°）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）+$\frac{1}{2}$∠ABC-90°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；
②如图②，
同①可求，∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
③∠F不一定存在，当α+β=180°时，∠F=0，不存在．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：①∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°，②∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．
点评 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
金钥匙试卷系列答案
| A． | 0 | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | 1 |