Question

如图，是的内接三角形，，为 中上一点，延长至点，使．

（1）求证：；
（2）若，求证：．

Answer 1

证明见解析．

试题分析：（1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）根据已知条件得，∠CED=∠CDE=45°，则DE=CD，从而证出结论．
试题解析：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；
（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴DE=CD，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．