题目内容
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止．设运动时
间为t秒．（1）如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；
（2）在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
分析：（1）根据相似三角形的性质列出等量关系，求出t的值；
（2）当点P在线段BC上时，S=S梯形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当点P在线段BC的延长线上时，S=S△AQE，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）当点P在线段BC上时，S=S梯形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当点P在线段BC的延长线上时，S=S△AQE，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
解答：解：（1）如图1，分别过点A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN=10
，
∴CD=60．
∵△CPQ∽△DAQ，
∴
=
，
∴
=
，
∴t1=10，t2=60（不合题意），
∴t=10．（5分）
（2）当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F．
∴PF=
t，PG=
(20-t)，
∴S△ABP=
AB×PF=10
t，S△CPQ=
CQ•PG=
t(20-t)，
S=S梯形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP=500
-
(60-2t)×10
-
t(20-t)-10
t=
(t2-20t+400)．（0＜t≤20）（8分）
当点P在线段BC的延长线上时，如图3，
过P作PH⊥AB于H，则
设AP与CD交于点E，
∵
=
，∴EC=
，
∴QE=CQ-CE=
．
∴y=
×
×10
=
．（20＜t≤30）．（12分）
∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN=10
| 3 |
∴CD=60．
∵△CPQ∽△DAQ，
∴
| CP |
| DA |
| CQ |
| DQ |
∴
| 20-t |
| 20 |
| 2t |
| 60-2t |
∴t1=10，t2=60（不合题意），
∴t=10．（5分）
（2）当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F．
∴PF=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴S△ABP=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
S=S梯形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP=500
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
-
| ||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
当点P在线段BC的延长线上时，如图3，
过P作PH⊥AB于H，则
设AP与CD交于点E，
∵
| EC |
| AB |
| PC |
| PB |
| 40t-800 |
| t |
∴QE=CQ-CE=
| 2t2-40t+800 |
| t |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 2t2-40t+800 |
| t |
| 3 |
=
10
| ||
| t |
点评：本题考查相似三角形的判定和性质，有关梯形、三角形面积的相关知识解决函数问题．
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9、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．
；