Question

15．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．
（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC=105°；
（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC₁，试问：
①当α=15°时，能使AB∥CD；
②当α=45°时，∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°；
③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC₁+CAC₁+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，易得∠BCD=75°，然后在△BDC中运用三角形内角和定理就可解决问题；
（2）①如图2，当α=15°时，可得∠BAC=∠ACD=30°，从而可得AB∥CD；②当α=45°时，可求出∠CEC₁，然后利用三角形的内角和定理可求出∠EOC₁，然后利用三角形外角的性质可求出∠DBC₁+∠BDC，就可求出∠DBC₁+∠BDC+∠CAC₁；③当0°＜α≤45°时，在△ACC₁中，利用三角形内角和定理可得∠CAC₁+30°+∠OCC₁+45°+∠OC₁C=180°，根据三角形外角的性质可得∠DBC₁+∠BDC=∠DOC=∠OCC₁+∠OC₁C，从而可得∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°．

解答 解：（1）如图1，在△BDC中，∠BCD=45°+30°=75°，
∴∠DBC+∠BDC=180°-∠BCD=105°．
故答案为105°；

（2）①如图2，当α=15°时，∠BAC=45°-15°=30°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴AB∥CD．
故答案为15°；
②当α=45°时，∠CEC₁=∠EAC+∠ACE=45°+30°=75°，
∴∠EOC₁=180°-∠CEC₁-∠BC₁A=180°-75°-45°=60°，
∴∠DBC₁+∠BDC=∠EOC₁=60°；
∴∠DBC₁+∠BDC+∠CAC₁=60°+45°=105°．
故答案为105°；
③当0°＜α≤45°时，∠DBC₁+CAC₁+∠BDC的值的大小不变，等于105°．
证明：在△ACC₁中，
∵∠CAC₁+∠ACC₁+∠AC₁C=∠CAC₁+∠ACO+∠OCC₁+∠AC₁B+∠OC₁C=∠CAC₁+30°+∠OCC₁+45°+∠OC₁C=180°，
∠DBC₁+∠BDC=∠DOC₁=∠OCC₁+∠OC₁C，
∴∠CAC₁+75°+∠DBC₁+∠BDC=180°，
∴∠DBC₁+∠CAC₁+∠BDC=105°．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定等知识，构造8字型将∠DBC₁+∠BDC转化为∠OCC₁+∠OC₁C，是解决最后一小题的关键．