Question

如图，在圆O中，点C是弦AB上一点，已知AC=1，CB：AB=7：8，OC=3

2

．
求：半径OA的长及∠OAB的正弦值．

Answer 1

分析：首先过点O作OD⊥AB于D，即可得AD=BD=

1

2

AB，∠ADO=90°，然后由AC=1，CB：AB=7：8，求得AD与CD的长，然后在Rt△OCD中与Rt△AOD中，利用勾股定理即可求得OA的长，则可得∠OAB的正弦值．

解答：解：过点O作OD⊥AB于D，
∴AD=BD=

1

2

AB，∠ADO=90°，
∵CB：AB=7：8，
∴AC：AD=1：4，
∵AC=1，
∴AD=4，CD=3，
∵OC=3

2

，
在Rt△OCD中，OD=

OC2-CD2

=3，
在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=5，
∴sin∠OAB=

OD

OA

=

3

5

．
∴径OA的长为5，∠OAB的正弦值为

3

5

．

点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．