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精英家教网如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直线BC上，⊙A是以A为圆心，AD为半径的圆．
（1）求a的值；
（2）求证：⊙A与BC相切；
（3）在x负半轴上是否存在点M，使MC与⊙A相切，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由；
（4）线段AD与y轴交于点E，过点E的任意一直线交⊙A于P、Q两点，问是否存在一个常数K，始终满足PE•QE=K，如果存在，请求出K的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由已知求直线BC的解析式，将D点横坐标代入直线BC解析式求a的值；
（2）分别求AD，BD的长，证明AD2+BD2=AB2，利用勾股定理的逆定理判断∠ADB=90°即可；
（3）存在．设M（m，0），连接MC，当MC与⊙M相切时，利用计算△OCM的面积的方法，列方程求m的值；
（4）存在．延长DA交⊙A于G点，利用相交弦定理求常数K．
解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
将D（1，a）代入，得a=-1+3=2；

（2）∵AD2=（1+1）2+22=8，BD2=（3-1）2+22=8，AB2=（1+3）2=16，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，即：⊙A与BC相切；

（3）存在．精英家教网
设M（m，0），连接MC，过A点作AN⊥CM，垂足为N，
则MC=
m2+9
，由AN×CM=AM×CO，得AN=
3(-1-m)
m2+9
，
当MC与⊙M相切时，AN=AD=2
2
，即
3(-1-m)
m2+9
=2
2
，
解得m=-21或3（舍去正值），即M（-21，0）；

（4）存在．
延长DA交⊙A于G点，由A、D两点坐标可知，直线AD：y=x+1，
∴E（0，1），
AE=ED=
2
，AG=2
2
，
由相交弦定理，得PE•QE=ED•EG=
2
×3
2
=6，即K=6．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据已知点求直线解析式，运用点的坐标判断直线与圆相切，运用切线的性质求m的值，运用相交弦定理求常数K．
练习册系列答案
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18、如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑦的直角顶点的坐标为
（24，0）
．
精英家教网如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
（1）在图中画出线段OP′；
（2）求P′的坐标和
PP′
的长度．
如图，在直角坐标系中，O为原点．反比例函数y=
6
x
的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的
3
2
倍．
（1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图象与x轴的负半轴交于点B，AC⊥x轴于点C，若△ABC的面积为9，求这个一次函数的解析式．
（3）点D在反比例函数y=
6
x
的图象上，且点D在直线AC的右侧，作DE⊥x轴于点E，当△ABC与△CDE相似时，求点D的坐标．
如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（-4，6），C（0，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：
（1）以原点O为位似中心；
（2）△A1B1C1，△A2B2C2与△ABC的面积比都是1：4．（作出图形，保留痕迹，标上相应字母）
如图，在直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，

（1）△AOB的面积是
6
6
；
（2）三角形（2013）的直角顶点的坐标是
（8052，0）
（8052，0）
．

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