Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

Answer 1

解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形 OA=OB=a·cos45°=a ∴P点坐标为（a，a）
（2）作DE⊥x轴于E，PF ⊥x轴于F， 设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n） ∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90° ∴∠DAE=∠ABO 在△AOB和△DEA中： ∴△AOB≌和△DEA（AAS） ∴AE=0B=n，DE=OA=m， 则D点坐标为（m+n，m） ∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n） ∴P点坐标为（，） ∴PF=OF= ∴∠POF=45°， ∴OP平分∠AOB， 即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，则0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα=a·cosα， ∵0°≤α＜45°， ∴＜cosα≤1， ∴a＜h≤a 。