Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由

Answer 1

解：CE=CF=GB．

　 理由：（1）∵∠ACB=90°，

　 ∴∠BAC+∠ABC=90°．

　 ∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°．

　 ∴∠ACD=∠ABC．

　 ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．

　 ∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，

　 ∠CEF=∠CAE+∠ACD，

∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF（等角对等边）．

如图，过E作EH⊥AB于H．

　 ∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC．

　 ∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

　 ∴EH=EC，∴EH=CF．

　 ∵FG∥AB，∴∠CGF=∠EBH．

　 ∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CFG=∠EHB=90°．

　 在Rt△CFG和Rt△EHB中，

　 ∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，

　 ∴Rt△CFG≌Rt△EHB．

　 ∴CG=EB，∴CE=GB．

　 ∴CE=CF=GB．