Question

如图所示，在△ABC中，BC=7cm，AB=25cm，AC=24cm，P点在BC上从B点向C点运动（不包括点C），点P的运动速度为2cm∕s；Q点在AC上从C点向点A运动（不包括点A），运动速度为5cm∕s，若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出主要过程．
（1）经过多长时间后，P、Q两点的距离为5

2

cm？
（2）经过多长时间后，△PCQ面积为15cm²？

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理的逆定理由条件可以得出△ABC为直角三角形，设x秒后P、Q两点的距离为5

2

cm，由勾股定理就可以求出结论；
（2）根据三角形的面积公式=底×高÷2，设y秒后，△PCQ面积为15cm²，根据题意建立方程可以求出结论．

解答：解：（1）∵BC=7cm，AB=25cm，AC=24cm，
∴BC²=49，AB²=625，AC²=576．
∴BC²+AC²=625，
∴BC²+AC²=AB²．
∴△ABC是Rt△．
∴∠C=90°．
设x秒后P、Q两点的距离为5

2

cm，
则PC=7-2x，CQ=5x，
∴（5

2

）²=（7-2x）²+25x²，
解得：x₁=-

1

29

（舍去），x₂=1，
故经过1秒后，P、Q两点的距离为5

2

cm；

（2）设y秒后，△PCQ面积为15cm²，由题意得：

5x(7-2x)

2

=15，
解得：x₁=2，x₂=1.5，
故经过2秒或1.5秒后，△PCQ面积为15cm²．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的运用及三角形面积公式的运用，在解答时运用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形是关键．