题目内容

（2005•绍兴）E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系
图①中
图②中
由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）

【答案】分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的长度如下表；
（2）经观察发现QB，AB都与DP相关，通过证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB，AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（3）同（2）证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB、AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB．
解答：解：（1）
AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系
图①中2.70.9AQ=3BQ
图②中3.31.1AQ=3BQ
注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分
猜想：AQ=3QB；

（2）成立
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴，
∵E F为BD三等分点
∴，
同理，
∴=4，
∴=3，
即AQ=3BQ；

（3）成立．
点评：本题综合考查了平行四边形，梯形的性质，同时考查了等分点在相似三角形求相似比中的应用．
练习册系列答案
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（2005•绍兴）（以下两小题选做一题，第1小题满分14分，第2小题满分为10分．若两小题都做，以第1小题计分）
选做第______小题．
（1）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；
②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值；
③若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式．
（2）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①求直线AC的解析式；
②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线y=-x2+kx上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由．
（2005•绍兴）平移抛物线y=x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式    ．
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③若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式．
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②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线y=-x2+kx上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由．
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图①中
图②中
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