Question

已知如图，AD∥BC，∠ABC=90^o，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45^o，连接ED，过D作DF⊥BC于F.

（1）若∠BEC=75^o，FC=4，求梯形ABCD的周长。（4分）

（2）求证：ED=BE+FC.（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）12+4 （2）通过证明△DEC≌△EGC（AAS），得ED="EG" 从而得ED="BE+FC"

【解析】

试题分析：

（1）∵∠ABC=90^o，∠BEC=75^o，

∴∠ECB=15^o，∵∠ECD=45^o，∴∠DCF=60^o

在Rt△DFC中：∠DCF=60^o，FC=4， ∴DF=4，DC="8"

由题得，四边形ABFD是矩形∴AB=DF=4，

∵AB=BC，∴BC=4，

∴BF=BC－FC=4－4，∴AD=BF=4－4

∴梯形ABCD的周长为：4+4+8+4－4=12+4

（2）延长EB至G，使BG=CF，连接CG

∵∠CBG=∠DFC=90^o，DF="AB=BC" ∴△CBG≌△DFC（SAS）

∴∠CDF=∠GCB，∵∠CDF+∠DCF=90^o，∴∠GCB+∠DCF=90^o

∵∠DCE=45^o，∴∠ECG=45^o

∴∠DCE=∠ECG ∴△DEC≌△EGC（AAS），∴ED="EG"

∴ED="BE+FC"

考点：矩形，梯形、全等三角形

点评：本题考查矩形，梯形、全等三角形，解答本题需要考生熟悉矩形的性质，梯形的性质，掌握三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质