Question

3．在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案）

Answer 1

分析 分当点D、E在点A的同侧，当点D、E在点A的两侧时两种情况分类讨论后利用等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在AB上时，如图1，
∵BE=BC，
∴∠BCE=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
∴∠ACD=（180°-∠BAC）÷2，
∵∠DCE=∠BCE+∠ACD-∠ACB，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2+（∠180°-∠BAC）÷2-∠ACB
=（360°-∠ABC-∠BAC）÷2-∠ACB
=（180°+∠ACB）÷2-∠ACB
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
=90°-$\frac{1}{2}$×80°
=50°．
（2）当点D、E在点A的两侧时，如图2，
∵BE=BC，
∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（∠180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ACB）÷2
=100°÷2=50°．
故∠DCE的度数为50°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，体现了分类讨论的数学思想，难度较大．