如图①.四边形OACB为长方形.A.直线l为函数y=-2x-5的图象．,(2)若点P在直线l上.△APB为等腰直角三角形.∠APB=90°.求点P的坐标,小明的思考过程如下:第一步:添加辅助线.如图②.过点P作MN∥x轴.与y轴交于点N.与AC的延长线交于点M,第二步:证明△MPA≌△NBP,第三步:设NB=m.列出关于m的方程.进而求得点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图①，四边形OACB为长方形，A（-6，0），B（0，4），直线l为函数y=-2x-5的图象．
（1）点C的坐标为（-6，4）；
（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，求点P的坐标；
小明的思考过程如下：
第一步：添加辅助线，如图②，过点P作MN∥x轴，与y轴交于点N，与AC的延长线交于点M；
第二步：证明△MPA≌△NBP；
第三步：设NB=m，列出关于m的方程，进而求得点P的坐标．
请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；
（3）若点P在直线l上，点Q在线段AC上（不与点A重合），△QPB为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

分析（1）根据矩形的性质可以求得．
（2）由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．
（3）分三种情形讨论①∠PBQ=90°，利用图1中△PMB≌△BNQ即可求出．
②∠BPQ=90°，利用图2中△PMB≌△CNP即可求出．
③∠PQB=90°，利用图3中△PNQ≌△BMQ即可求出．

解答解：（1）∵四边形AOBC是矩形，
∴AO=CO=6，AC=BO=4，
∴点C的坐标为（-6，4）．
故答案为C（-6，4）．
（2）根据题意得：∠AMP=∠PNB=90°，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠APB=90°，
∵∠APB=∠AMP=90°，
∴∠NPB+∠MPA=∠MPA+∠MAP=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
在△MPA和△NBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAP=∠NPB}\\{∠AMP=∠PNB}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△MPA≌△NBP（AAS），
∴AM=PN，MP=NB，
设NB=m，则MP=m，PN=MN-MP=6-m，AM=4+m，
∵AM=PN，
∴4+m=6-m，
解得：m=1，
∴点P的坐标为（-5，5）；
（3）设点Q的坐标为（-6，q），
分3种情况讨论：
①当∠PBQ=90°时，如右图，过点P作PM⊥y轴于点M，点Q作QN⊥y轴于点N，
∵∠QBN+∠PBM=90°，∠MPB+∠PBM=90°
∴∠QBN=∠MPB，∠PMB=∠QNB=90°
在△AQN和△PBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPB=∠QBN}\\{∠PMB=∠QNB}\\{AP=QB}\end{array}\right.$，
∴△PMB≌△BNQ，
∴MB=NQ=6，PM=BN=4-q，∴P（q-4，10），
代入y=-2x-5，解得：q=-3.5，
∴p（-7.5，10）．
此时点Q不在线段AC时，不合题意，舍弃．
②当∠BPQ=90°时，
若点P在BQ上方，即为（2）的情况，此时点Q与点A重合，由于题设中规定点Q不与点A重合，故此种情况舍去；
若点P在BQ下方，如右图，过点P作PN⊥AC于点N，作PM⊥y轴于点M，
设BM=m，
∵∠APM+∠NPC=90°，∠NQB+∠NPQ=90°，
∴∠BPM=∠NQP，
在△APM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠NQP}\\{∠AMP=∠PNQ}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$
∴△PMB≌△CNP，
∴PN=BM=m，
∴PM=6-m，
∴P（m-6，4-m），
把P坐标代入y=-2x-5，得4-m=-2m+12-5，
解得：m=3
此时点P的坐标为（-3，1）；
③当∠PQB=90°时如右图，过点Q作QM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥AC垂足为N，
设BM=m，
∵∠PQB=∠MQN=90°，
∴∠PQN=∠MQB，
在△PQN和△BQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQN=∠BQM}\\{∠PNQ=∠BMQ}\\{PQ=QB}\end{array}\right.$，
∴△PNQ≌△BMQ，
∴QN=QM=6，MB=NP=m，
∴P（-6-m，10-m），
把P坐标代入y=-2x-5，得：10-m=12+2m-5，
解得：m=1，此时点P的坐标为（-7，9），
综上所述，点P的坐标为（-3，1）或（-7，9）．

点评本题考查矩形、一次函数、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性质等有关知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用方程的思想解决问题．

试题分类