Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AC＝，求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积；

（3）若AC＝4，BD＝6，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可证AD是⊙O的切线；

（2）连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD＝AC＝1，BC＝AC＝3， AC=3，得出BD=BC-CD=2，由直角三角形的性质得出DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，得出OB＝2OF＝，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；（3）证明△ACD∽△BCA，得出，求出CD=2，由勾股定理得出AD＝，求出AB=4，在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，设⊙O的半径为x，则OA=4-x，解关于x的方程，BE=2x，求出BE后，根据AE=AB-BE，直接计算AE的长即可；

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，

∴OD⊥AD，

则AD为⊙O的切线；

（2）解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：

∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝∠B＝30°，

∴∠DOB＝120°，

∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，

∴CD＝AC＝1，BC＝AC＝3，

∴BD＝BC﹣CD＝2，

∵OF⊥BD，

∴DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，

∴OB＝2OF＝，

∴劣弧BD与弦BD所围阴影部分的面积＝扇形ODB的面积﹣△ODB的面积＝

（3）解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CD×BC＝CD（CD+BD），

即42＝CD（CD+6），

解得：CD＝2，或CD＝﹣8（舍去），

∴CD＝2，

∴AD＝，

∵，

∴，

∴AB＝4，

∵OD⊥AD，

∴在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，

∴设⊙O的半径为x，则OA=4-x，

∴(2) 2+x2=(4-x) 2，

∴，

∴AE=AB-BE=4-3=；