Question

【题目】如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为60°.点在直线上，，直线，垂足为点且，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任一点.

发现：的最小值为_________，的最大值为__________，与直线的位置关系_________.

思考：矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积.

Answer 1

【答案】, 10 , ；,.

【解析】

发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM=3，当点M在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线1的位置关系．
思考：连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据弧长公式可求得弧EG的长，利用扇形面积减去三角形面积即可得到面积.

解：发现：由题意可知OM=OF=3，AF=8，EF⊥l，
∴OA=．
当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为=．
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=．
如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．

∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAG=30°．
∴GB=AB=3．
∴OF=BG=3，
又∵GB∥OF，
∴四边形OBGF为平行四边形，
∴OB∥FG，即OB∥l．

故答案为：，10，；

思考：如图2所示：连结，过点作，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

弧的长，

∴半圆与矩形重合部分的周长，

∴

.