Question

如图所示，已知四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∠ACD=∠ADC，
（1）若∠DAC=2∠BAC，则∠DBC/∠BDC=

 

；
（2）当∠DAC=3∠BAC时，求∠DBC/∠BDC的值；
（3）∠DAC=n∠BAC时，∠DBC/∠BDC=

 

．

Answer 1

分析：（1）由题意，设∠BAC=x°，则∠DAC=2x°，∠DBC=∠ABC-∠ABD，∠BDC=∠ADC-∠ADB，根据三角形的内角和定理，可得∠ABC=∠ACB=

180°-x°

2

，∠ABD=∠ADB=

180°-3x°

2

，∠ACD=∠ADC=

180°-2x°

2

，代入即可求出；
（2）同理，当∠DAC=3∠BAC时，可求得∠DBC/∠BDC的值等于3；
（3）同理，当∠DAC=n∠BAC时，可求得∠DBC/∠BDC的值等于n．

解答：解：（1）设∠BAC=x°，则∠DAC=2x°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-x°

2

，
∠ABD=∠ADB=

180°-3x°

2

，
∠ACD=∠ADC=

180°-2x°

2

，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD，
=

180°-x°

2

-

180°-3x°

2

，
=x°，
∠BDC=∠ADC-∠ADB，
=

180°-2x°

2

-

180°-3x°

2

，
=

x°

2

，
∴∠DBC/∠BDC=2；

（2）设∠BAC=x°，则∠DAC=3x°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-x°

2

，
∠ABD=∠ADB=

180°-4x°

2

，
∠ACD=∠ADC=

180°-3x°

2

，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD，
=

180°-x°

2

-

180°-4x°

2

，
=

3x°

2

，
∠BDC=∠ADC-∠ADB，
=

180°-3x°

2

-

180°-4x°

2

，
=

x°

2

，
∴∠DBC/∠BDC=3；

（3）设∠BAC=x°，则∠DAC=nx°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-x°

2

，
∠ABD=∠ADB=

180°-(n+1)x°

2

，
∠ACD=∠ADC=

180°-nx°

2

，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD，
=

180°-x°

2

-

180°-(n+1)x°

2

，
=

nx°

2

，
∠BDC=∠ADC-∠ADB，
=

180°-nx°

2

-

180°-(n+1)x°

2

，
=

x°

2

，
∴∠DBC/∠BDC=n．
故答案为：（1）2；（2）3；（3）n．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，由题意分别表示出各角的度数，是解答本题的关键．