Question

【题目】如图，在中，，对角线，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得，连接CF,则周长的最小值为___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，利用tan∠DBC=和BD=10可求出DG和BG的长，然后求出CD的长，可知△DCF周长最小，即CF+DF最小，利用“一线三垂直”得到△HDF∽△GED，然后根据对应边成比例推出FH=2GD，可知F在DG右侧距离2DG的直线上，作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC'，则CD+DC'的长即为周长最小值.

如图，过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，

∵tan∠DBC=，BD=10，设DG=x，BG=2x

∴，解得

∴DG=，BG=

∴GC=BC-BG=

∴CD=

△DCF周长最小，即CF+DF最小

∵∠FDE=90°

∴∠HDF+∠GDE=90°

∵∠GED+∠GDE=90°

∴∠HDF=∠GED

又∵∠DHF=∠EGD=90°

∴△HDF∽△GED

∴

∴FH=2GD=

即F在DG右侧距离的直线上运动，如图所示，

作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值

∵DG⊥BC，FH⊥DG，FO⊥CC'

∴四边形HFOG为矩形，

∴OG=HF=

又∵GC=

∴OC=OC'=

∴GC'=

在Rt△DGC'中，DC'=

∴△DCF周长的最小值=CD+DC'=

故答案为：.